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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

\begin{document}

\begin{center}
\includegraphics [width=0.85\textwidth, height=4.1cm]{lixin-pan-new.eps}
\end{center}

\vspace{-0.6cm}

\begin{center}
%{\LARGE\bf 上海立信会计金融学院期终考试卷 --- 试题纸} \hspace{0.3cm} {\Large \underline{ A }卷 }
{\Large\bf \H 上海立信会计金融学院期终考试卷 } \hspace{0.3cm} {\Large \underline{ A }卷 }

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H 2023 $\sim$ 2024 学年 第 二 学期 }

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H \underline{ \emph{2021-2022级数学与应用数学专业} } 《\underline{ \emph{实变函数} }》 课程代码：\underline{ 160690320 }  }

\vspace{0.3cm}

{\H（本场考试属\underline{  开  }卷考试，考试时间共\underline{  90  }分钟，不准使用计算器）共\underline{  4  }页 }
%{\large （本场考试属闭卷考试，考试时间 90 分钟，禁止使用计算器） }

\vspace{0.3cm}

%{\large 本考试卷共 4 页，请在本考试卷上答题。}

%\vspace{-0.3cm}
%\rule[-.3\baselineskip]{\textwidth}{0.2pt}

\vspace{0.4cm}

班级 \underline{\hspace{3.5cm}} 学号 \underline{\hspace{3.5cm}} 姓名 \underline{\hspace{3.5cm}} 

\end{center}

\vspace{-0.2cm}

{\H
\begin{table}[h]
%\caption{Nonlinear Model Results} % title of Table
\centering % used for centering table
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{
|>{\centering\arraybackslash}p{0.8cm}
|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}
|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}
|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}
|>{\centering\arraybackslash}p{0.7cm}|>{\centering\arraybackslash}p{0.8cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1.1cm}|>{\centering\arraybackslash}p{1.1cm}|}
\hline
题号 &一&二&三&四&五&六&七&八&九&十&总分&合成人签名&审核人签名 \\
%\hline
%应得分&15&15&15&15&15&15&10&100 \\
\hline
得分 $\,\,\,\,\,\,\,\,$ &&&&&&&&&&&&& \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
本次考试共10题，每题10分。
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\begin{enumerate}

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%\newpage 
\item %Problem 1
简答题。求下述集合 $E$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的导集 $E'$, 开核 $\mathring{E}$, 闭包 $\overline{E}$ 与边界 $\partial E$. 
$$E=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x},x\in\mathbb{R},x\neq 0\right\}. $$



\vspace{3.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %Problem 2
证明康托尔集是一个完备集、疏朗集、测度为零、但是基数仍为 $\aleph$. 

填空题。将下述证明填充完整。

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item 康托尔集 $K$ 是 $[0,1]$ 去掉开区间 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$, $(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$, $\cdots$ 后剩下的部分，所以是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  因为去掉的开区间中，任意两个开区间都没有公共端点，所以 $K$ 没有 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  因为 $K$ 的任意点的任意邻域里，都有 $K$ 的其它点，所以 $K$ 的点都是 $K$ 的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  因为 $K$ 是自密的闭集，所以 $K$ 是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  康托尔集是一列闭集 $F_n$ 的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) ，其中 $F_1=[0,1]$, $F_2=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$, $\cdots$. 
\item  因为 $K$ 的任意点的任意领域内，都存在一个开区间 ({\color{red}\underline{\hspace{0.8cm}\hspace{0.8cm} }} ) ，所以 $K$ 是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  因为去掉的开区间的总长度为1，所以康托尔集的测度为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 。
\item  用三进制小数表示，康托尔集的每个点正好是不含有数字 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 的那些小数。
\item  因为可以建立康托尔集与区间 $[0,1]$ 之间的一一对应，所以它们的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}\hspace{0.5cm} }} ) 相等。

\end{enumerate}




\vspace{0.3cm}

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%\newpage 
\item %Problem 3
设 $E=[a,b]$ 为直线上的闭区间。证明外测度 $m^*(E)=b-a$.

单项选择题。在下述证明的括号里选择适当的备选理由。

\begin{enumerate}[label={(\Alph*)}]
\item  有限覆盖区间的总长度不会更短。
\item  有界闭区间的任意个开区间的覆盖，总存在有限个开区间的子覆盖。
\item  外测度是开覆盖的总测度的下确界。
\item  外测度的定义。
\item  这里的 $\varepsilon$ 可以是任意正数。
\end{enumerate}


%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}  \hspace{0.5cm} }} )，
对任意 $\varepsilon>0$, 取开区间 $(a-\frac{\varepsilon}{2}, b+\frac{\varepsilon}{2})$ 盖住 $E$, 所以 $m^*(E)\le b-a+\varepsilon$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}外测度的定义 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}  \hspace{0.5cm} }} )，
所以 $m^*(E)\le b-a$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}1中的 $\varepsilon$ 可以是任意正数 }}

\item  
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}  \hspace{0.5cm} }} )，
对 $E$ 的任意开覆盖 $\{(\alpha_n,\beta_n)\}_{n=1}^{\infty}$, 存在有限子覆盖 $\{(\alpha_{n_k},\beta_{n_k})\}_{k=1}^{m}$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}闭区间的有限覆盖定理 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}  \hspace{0.5cm} }} )，
可见 $b-a\le \sum\limits_{k=1}^{m} (\beta_{n_k} - \alpha_{n_k})$. 
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}有限覆盖区间的总长度不会更短 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.5cm}  \hspace{0.5cm} }} )，
所以 $m^*(E)\ge b-a$. 
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}外测度的开覆盖的总测度的下确界 }}

\item  
从 (2) 和 (5) 可知 $m^*(E)= b-a$.  
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}

\end{enumerate}



\vspace{0.3cm}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %Problem 4
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个点集。设 $m^*(E)=0$, 证明 $E$ 是可测集。

填空题。将下述证明填充完整。

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  为证明 $E$ 是可测集，需要验证  ({\color{red}\underline{\hspace{1.2cm}\hspace{1.2cm} }} )  条件。
\item  对任意子集 $T\subseteq \mathbb{R}^n$, 要验证  ({\color{red}\underline{\hspace{2.2cm}\hspace{2.2cm} }} ) . 
\item  根据外测度的非负性和({\color{red}\underline{\hspace{0.6cm}\hspace{0.6cm} }} )，从 $T\cap E\subseteq E$ 可得 $0\le m^*(T\cap E)\le m^*(E)$. 
\item  根据题设条件 $m^*(E)=0$, 从(3)可得 $m^*(T\cap E)=0$. 
\item  根据外测度的({\color{red}\underline{\hspace{0.6cm}\hspace{0.6cm} }} )，从 $T\cap E^c\subseteq T$ 可得 $m^*(T\cap E^c)\le m^*(T)$. 
\item  从(4)和(5)可得 $m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c)\le m^*(T)$. 
\item  根据外测度的({\color{red}\underline{\hspace{1.0cm}\hspace{1.0cm} }} )，从 $T=(T\cap E)\cup (T\cap E^c)$ 可得 $m^*(T) \le m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c)$. 
\item  从(6)和(7)可得(2)成立。

\end{enumerate}



\vspace{0.3cm}

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%\newpage 
\item %Problem 5
设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，则存在简单函数序列 $\{\varphi_k(x)\}$, 使得对任意 $x\in E$, 
有 $$\varphi_1(x)\le \varphi_2(x)\le \cdots\le \varphi_k(x)\le \cdots, \,\,\mathrm{且}\,\, \lim\limits_{k\to\infty} \varphi_k(x)=f(x).$$    
简答题。对下述两个函数 $f(x)$, 找出一列符合上述结论的简单函数序列。
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  对任意有理数 $x=\frac{m}{n}$, 其中 $m,n$ 是互素的整数，$n>0$, 定义 $f(x)=n$. 对任意无理数  $x$, 定义 $f(x)=0$. 

\vspace{2.5cm}

\item  $f(x)=x$, 定义在 $E=\mathbb{R}$ 上。
\end{enumerate}


\vspace{4.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 6
%（里斯定理）
设可测集 $E$ 上的函数列 $\{f_n(x): n=1,2,\cdots\}$ 依测度收敛于 $f(x)$. 证明存在函数子序列 $\{ f_{n_i}(x): i=1,2,\cdots\}$ 几乎处处收敛于 $f(x)$.

判断题。判断下述证明中的每句话是否正确。在编号旁边的括号里打 $\surd$ 或 $\times$.  

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  %1
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
按依测度收敛定义，对任意 $\sigma>0$ 与 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时有 
$$m \left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right) <\varepsilon. $$

\item  %2
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
对每个正整数 $k$, 取 $\sigma=\varepsilon=\frac{1}{2^k}$, 由(1)知存在 $N_k$ 使得 
$N_k>N_{k-1}$ 且 $$ m \left( E\left[ |f_{N_k}-f|\ge \frac{1}{2^k} \right] \right) < \frac{1}{2^k}. $$

\item  %3
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
对每个正整数 $k$, 记集合 $E_k = E[|f_{N_k}-f|< \frac{1}{2^k}]$, 则由(2)可知 $m(E-E_k)<\frac{1}{2^k}$. 

\item  %4
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
记 $F_k = \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}E_n =E_k\cup E_{k+1}\cup\cdots\cup E_n\cup\cdots $, 
则有递增序列 $F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_k\subseteq\cdots$.   

\item  %5
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
由(3)与(4)可知，
对每个正整数 $K$, 对任意 $x\in F_K$, 
当 $k\ge K$ 时，有 $$ | f_{N_k}(x)-f(x)| < \frac{1}{2^k}. $$

\item  %6
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
对任意 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $M$, 当 $k\ge M$ 时，有 $\frac{1}{2^k}<\varepsilon$. 

\item  %7
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
由(5)与(6)可知，对每个正整数 $K$, 子序列 $\{ f_{N_k}(x) \}_{k=1}^\infty$ 关于 $x\in F_K$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %8
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
记 $F=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}F_k $, 
由(7)可知 $\{ f_{N_k}(x) \}_{k=1}^\infty$ 关于 $x\in F$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %9
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
最后要证 $m(E-F)=0$. 由德摩根公式可知
$$E-F=E-\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}(E-F_k) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\left( E- \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}E_n \right) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ).$$

\item  %10
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}    \hspace{0.3cm} }} ) 
由(9)与(3)可知，对任意正整数 $k$, 有 
$$m(E-F)\le m \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ) \right)
= \sum \limits_{n=k}^{\infty} m (E-E_n )\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}}. 
$$ 

\item  %11
因为(10)中的 $k$ 可取任意正整数，所以 $m(E-F)=0$. 

\end{enumerate}



%\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 7
%（勒贝格定理）
设可测集 $E$ 的测度有限。设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的可测函数列，$f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的函数，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$. 则 $\{f_n(x)\}$ 依测度收敛于 $f(x)$.

不定项选择题。在下述证明的括号里选择适当的备选理由。
\begin{enumerate}[label={(\Alph*)}]
\item  依测度收敛的定义
\item  一致收敛的定义
\item  可测集 $E$ 的测度有限
\item  叶戈罗夫定理
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} )，
%因为可测集 $E$ 的测度有限，由叶戈罗夫定理，
对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $E_\varepsilon\subseteq E$ 使得 $m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E_\varepsilon$ 上一致收敛于 $f$. 

\item  %2
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} )，
%根据一致收敛的定义，
对任意 $\sigma>0$, 存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时对任意 $x\in E_\varepsilon$ 有
$|f_n(x)-f(x)|<\sigma$. 

\item  %3
由(1)与(2)可知，对任意 $\sigma>0$, 任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$, 存在 $N$, 使得 $n\ge N$ 时有
\begin{eqnarray*}
E[|f_n-f|\ge \sigma]  &\subseteq&  E-E_\varepsilon, \\ 
m\left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right)  &\le&  m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon.  
\end{eqnarray*}

\item  %4
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} )，
%根据依测度收敛的定义，
函数列 $\{f_n\}$ 依测度收敛于 $f$.

\end{enumerate}




%\vspace{0.3cm}


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%\newpage 
\item %Problem 8
若 $A,B$ 都是可测集，则 $A\cup B$ 也是可测集。

判断题。判断下述证明中的每句话是否正确。在编号旁边的括号里打 $\surd$ 或 $\times$.  

%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item %1
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
为了验证卡拉泰奥多里条件，设任意点集 $T$.  

\item %2
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
因为 $A$ 可测，对点集 $T$ 使用卡氏条件，可得
$m^*(T) = m^*(T\cap A) + m^*(T\cap A^c). $ 

\item %3
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
因为 $B$ 可测，对点集 $T\cap A$ 使用卡氏条件，可得
 $$m^*(T\cap A^c) = m^*[(T\cap A^c)\cap B] + m^*[(T\cap A^c)\cap B^c]. $$

\item %4
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
将 (3) 代入 (2) 得到 $m^*(T) = m^*(T\cap A) + m^*[(T\cap A^c)\cap B] + m^*[(T\cap A^c)\cap B^c]$.    

\item %5
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
因为 $A$ 可测，对点集 $T\cap (A\cup B)^c$ 使用卡氏条件，可得
\begin{eqnarray*}
m^*[T\cap (A\cup B)] 
&=& m^*[T\cap (A\cup B)\cap A] + m^*[T\cap (A\cup B)\cap A^c] \\ 
&=& m^*(T\cap A) + m^*[(T\cap A^c)\cap B]. 
\end{eqnarray*}

\item %6
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
将 (5) 代入 (4), 可得  $m^*(T) = m^*[T\cap (A\cup B)] + m^*[T\cap (A\cup B)^c]. $

\item %7
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.3cm}  \hspace{0.3cm} }} ) 
因此我们验证了可测集的定义，得到  $A\cup B$ 是可测集。  

\end{enumerate}



\vspace{0.3cm}

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%\newpage 
\item %Problem 9
使用控制收敛定理证明：
$$\lim\limits_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{dt}{\left( 1+\frac{t}{n} \right)^n } =1. $$


\vspace{5.3cm}

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\item  %Problem 10
设在康托尔集 $K\subseteq [0,1]$ 上定义函数 $f(x)=0$, 而在 $K$ 的余集中长为 $3^{-n}$ 的构成区间上定义为 
$n$, $(n=1,2,\cdots)$, 证明 $f(x)$ 是勒贝格可积的，并求出积分值。




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\end{enumerate}
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\end{document}





